Решение: Расстояние от точки до прямой
В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$. Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD$, если $AD = 14$, $BC = 12$.
Решение по шагам
8 шаговВведём координаты: $B(0,0)$, $C(12,0)$, $A(0,h)$, $D(14,h)$, где $h=AB$. Пусть $E(0,e)$. Так как окружность касается прямой $AB$ в точке $E$, её центр имеет координаты $(k,e)$, а радиус равен $|k|$.
$$AD=14,\quad BC=12$$Так как точка $C$ лежит на окружности, получаем:
$$(12-k)^2+e^2=k^2$$Из последнего равенства выразим $k$:
$$k=6+\frac{e^2}{24}$$Точка $D$ также лежит на окружности. Поэтому:
$$(14-k)^2+(h-e)^2=k^2$$Подставляя найденное значение $k$ и упрощая, получаем:
$$e^2+12he-6h^2-168=0$$Прямая $CD$ проходит через точки $C(12,0)$ и $D(14,h)$. Её уравнение:
$$hx-2y-12h=0$$Расстояние от точки $E(0,e)$ до прямой $CD$ равно:
$$d=\frac{|h\cdot0-2e-12h|}{\sqrt{h^2+(-2)^2}}=\frac{2|e+6h|}{\sqrt{h^2+4}}$$Из уравнения для $e$ следует $e+6h=\sqrt{42(h^2+4)}$ для точки касания, лежащей на отрезке $AB$. Поэтому:
$$d=\frac{2\sqrt{42(h^2+4)}}{\sqrt{h^2+4}}=2\sqrt{42}$$2\sqrt{42}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно задают координаты точки $D$ и используют длину $AD=14$ вместо координатной разности по оси $x$.
Забывают, что центр окружности при касании прямой $AB$ имеет ту же ординату, что и точка $E$.
В формуле расстояния до прямой используют координаты точки $C$ или $D$ вместо координат точки $E$.
Не учитывают, что расстояние является положительной величиной.