Решение: Радиус окружности и касательная
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $12$ и $21$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$.
Решение по шагам
7 шаговРасположим начало координат в точке $A$, а ось $x$ направим вдоль стороны $AC$. Тогда $M=(12,0)$ и $N=(21,0)$. Середина отрезка $MN$ имеет координаты $\left(\dfrac{33}{2},0\right)$, поэтому центр окружности имеет вид $O=\left(\dfrac{33}{2},y\right)$.
Радиус окружности равен расстоянию от центра до точки $M$:
$$R^2=\left(\frac{33}{2}-12\right)^2+y^2=\left(\frac{9}{2}\right)^2+y^2$$Так как $\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt7}{4}$, то $\sin\angle BAC=\dfrac34$. Направляющий единичный вектор луча $AB$ имеет координаты $\left(\dfrac{\sqrt7}{4},\dfrac34\right)$. Условие касания означает, что расстояние от $O$ до прямой $AB$ равно радиусу:
$$\left|\frac{\sqrt7}{4}y-\frac34\cdot\frac{33}{2}\right|=\sqrt{\left(\frac92\right)^2+y^2}$$После возведения в квадрат и упрощения получаем квадратное уравнение:
$$\frac{9}{16}y^2+\frac{99\sqrt7}{16}y+\frac{81}{16}-\frac{9801}{64}=0$$Его корни:
$$y=\frac{5\sqrt7}{2}\quad\text{или}\quad y=-\frac{27\sqrt7}{2}$$Проверим, где находится точка касания. Её координата вдоль луча $AB$ определяется скалярным произведением $O$ на направляющий вектор. При $y=\dfrac{5\sqrt7}{2}$ оно равно $6\sqrt7>0$, поэтому точка касания лежит на луче $AB$. При $y=-\dfrac{27\sqrt7}{2}$ оно равно $-6\sqrt7<0$, поэтому касание происходит на противоположном луче.
Для допустимого значения $y=\dfrac{5\sqrt7}{2}$ вычисляем радиус:
$$R=\sqrt{\left(\frac92\right)^2+\left(\frac{5\sqrt7}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{81}{4}+\frac{175}{4}}=\sqrt{64}=8$$Радиус окружности равен $8$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Использовать значение $\cos\angle BAC=\dfrac{7}{4}$ вместо правильного значения $\dfrac{\sqrt7}{4}$.
Не проверять, лежит ли точка касания именно на луче $AB$, а не на противоположном луче.
Ошибиться при нахождении координат центра окружности: его абсцисса равна середине отрезка $MN$, то есть $\dfrac{33}{2}$.