Радиус окружности и касательная
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $12$ и $21$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Точки и лежат на стороне треугольника на расстояниях соответственно 12 и 21 от вершины . Найдите радиус окружности, проходящей через точки и и касающейся луча , если . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Где расположен центр окружности, проходящей через две точки $M$ и $N$? Как выразить условие касания к лучу $AB$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Введём координаты: $A=(0,0)$, $AC$ — ось $x$, тогда $M=(12,0)$, $N=(21,0)$. Центр окружности имеет координаты $O=\left(\dfrac{33}{2},y\right)$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ должно быть равно радиусу окружности. После решения квадратного уравнения получаются два центра, но только один имеет точку касания на луче $AB$. Для него радиус равен $8$.