Равенство треугольников
Два треугольника называются равными, если при наложении они полностью совпадают. На практике накладывать фигуры не требуется: достаточно установить равенство некоторых соответствующих сторон и углов по одному из трёх признаков.
Что значит «равные треугольники»
Пусть даны треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\). Вершины называют соответствующими, если при совмещении \(A\) переходит в \(A_1\), \(B\) — в \(B_1\), а \(C\) — в \(C_1\). Тогда соответствуют стороны \(AB\) и \(A_1B_1\), \(BC\) и \(B_1C_1\), \(AC\) и \(A_1C_1\), а также углы \(A\) и \(A_1\), \(B\) и \(B_1\), \(C\) и \(C_1\).
Треугольники равны, если их соответствующие стороны и соответствующие углы попарно равны. Запись \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\) задаёт порядок соответствующих вершин.
Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. Например, если \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\), то \(AB=A_1B_1\), \(\angle C=\angle C_1\) и так далее. Поэтому в доказательстве достаточно установить один из признаков, а затем сделать вывод о нужном элементе.
Три признака равенства треугольников
Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то треугольники равны. Схематично: \(AB=A_1B_1\), \(AC=A_1C_1\), \(\angle A=\angle A_1\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\).
Если сторона одного треугольника равна соответствующей стороне другого, а два угла, прилежащие к этой стороне, соответственно равны, то треугольники равны. Например, \(AB=A_1B_1\), \(\angle A=\angle A_1\), \(\angle B=\angle B_1\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\).
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то треугольники равны: \(AB=A_1B_1\), \(BC=B_1C_1\), \(AC=A_1C_1\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\).
Важно точно определить соответствие. В первом признаке угол должен быть между известными сторонами. Во втором признаке известная сторона должна иметь по краям два известных прилежащих угла. Если условие даёт три стороны, применяется третий признак.
| Признак | Что сравниваем | Короткая запись |
|---|---|---|
| 1-й | две стороны и угол между ними | СУС |
| 2-й | сторона и два прилежащих угла | УСУ |
| 3-й | три стороны | ССС |
Даны \(AB=A_1B_1\), \(AC=A_1C_1\) и \(\angle B=\angle B_1\). Можно ли сразу применить первый признак?
Алгоритм доказательства
Задачи на равенство треугольников часто содержат общую сторону, пересекающиеся прямые, вертикальные углы или равные отрезки и углы. Используйте такой порядок:
- Выделите два треугольника, равенство которых нужно доказать.
- Запишите пары соответствующих вершин в правильном порядке.
- Найдите три факта: равные стороны, равные углы, общую сторону или общий угол.
- Обоснуйте каждый факт: по условию, как общую сторону, по вертикальным углам, по свойствам элементов треугольника или другим известным правилам.
- Выберите один из трёх признаков и запишите вывод.
- Если требуется доказать равенство ещё одной стороны или угла, используйте равенство треугольников.
Если пишете \(\triangle ABC=\triangle DEF\), то обязательно подразумевается \(AB=DE\), \(BC=EF\), \(AC=DF\) и \(\angle A=\angle D\), \(\angle B=\angle E\), \(\angle C=\angle F\). Сначала сопоставьте вершины, затем записывайте названия треугольников.
Разобранный пример
В треугольниках \(ABC\) и \(ADC\) известно, что \(AB=AD\), \(\angle BAC=\angle CAD\). Докажите, что \(\triangle ABC=\triangle ADC\), и укажите следствие для сторон \(BC\) и \(CD\).
Общая сторона — полноценное равенство: её не нужно доказывать, достаточно отметить, что она входит в оба треугольника. В данном примере соответствие вершин такое: \(A\leftrightarrow A\), \(B\leftrightarrow D\), \(C\leftrightarrow C\). Поэтому после равенства треугольников стороне \(BC\) соответствует сторона \(DC\).
Другой типичный случай: если два треугольника образованы пересечением прямых, то можно использовать вертикальные углы. Например, при \(AB=CD\) и \(\angle AOB=\angle COD\) иногда достаточно найти ещё одну пару равных сторон или углов и применить нужный признак. Обязательно проверьте, что выбранные элементы принадлежат именно рассматриваемым треугольникам.
1) Нельзя считать треугольники равными только по двум равным сторонам. 2) В первом признаке угол обязан быть заключён между данными сторонами. 3) Во втором признаке нужны оба угла, прилежащие к данной стороне. 4) Нельзя менять порядок вершин в записи равенства без изменения соответствия. 5) После применения признака нужно явно указать, какие элементы равны как соответствующие.
Связь с другими темами
Равенство треугольников часто служит промежуточным шагом. Сначала находят равные треугольники, затем получают равенство сторон, углов, медиан или других элементов треугольника. Свойства равнобедренного треугольника также выводятся через равенство двух треугольников; после этой темы полезно перейти к свойствам равнобедренного треугольника и доказательствам в задачах о треугольниках. Не следует смешивать равенство с подобием треугольников: при подобии форма совпадает, но размеры могут быть различными.
Быстрая проверка
Главное
- Равные треугольники полностью совпадают при наложении, а их соответствующие элементы равны.
- Первый признак: две стороны и угол между ними; второй: сторона и два прилежащих угла; третий: три стороны.
- В доказательстве нужно назвать треугольники, установить три равенства, выбрать признак и записать соответствие вершин.
- Общая сторона и вертикальные углы часто дают недостающие равенства.
- После равенства треугольников можно доказывать равенство соответствующих сторон и углов.