Решение: Пересечение хорды и параллели
В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 40$, $AC = 64$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдите $CD$.
Решение по шагам
5 шаговВыберем координатную ось с началом в точке $A$, направленную вдоль $AO$. Пусть радиус описанной окружности равен $R$. Для любой точки $X$ окружности с координатами $(x,y)$ выполняется уравнение окружности:
$$x^2+y^2=2Rx$$Обозначим $AD=x$. Так как $C$ лежит на окружности и $AC=64$, а угол между $AC$ и осью $AO$ обозначим через $\alpha$, имеем:
$$64^2=2R\cdot64\cos\alpha,\qquad R=\frac{32}{\cos\alpha}$$Для точки $B$ расстояние $AB=40$, поэтому из уравнения окружности её координата вдоль оси $AO$ равна:
$$40^2=2R\cdot x_B,\qquad x_B=\frac{800}{R}=25\cos\alpha$$Поскольку $BD\perp AO$, прямая $BD$ вертикальна в выбранной системе координат. Поэтому точки $B$ и $D$ имеют одинаковую координату вдоль оси $AO$. Для точки $D$ эта координата равна $AD\cos\alpha$, следовательно:
$$AD\cos\alpha=25\cos\alpha,\qquad AD=25$$Точка $D$ лежит на отрезке $AC$, поэтому:
$$CD=AC-AD=64-25=39$$Ответ: $39$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать радиус $AO$ с длиной стороны $AB$ или $AC$.
Не учитывать, что из условия $BD\perp AO$ следует равенство координат точек $B$ и $D$ вдоль направления $AO$.
Вычислить $AD=25$, но записать его как ответ вместо $CD$.