Решение: Площадь параллелограмма по биссектрисам
Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь параллелограмма, если $BC = 2$, а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно $1$.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим $AB = a$, а угол $DAB$ через $\alpha$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, $AD = BC = 2$.
Пусть $u = \dfrac{\alpha}{2}$. Биссектриса угла $A$ образует с основанием $AB$ угол $u$. Биссектриса угла $B$ образует с направлением, параллельным $AB$, угол $u$ с другой стороны.
Рассмотрим пересечение биссектрис. Если опустить из точки $K$ перпендикуляр на $AB$, его длина равна $a\sin u\cos u$. По условию эта длина равна $1$, поэтому $a\sin u\cos u = 1$.
Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними:
$$S = AB\cdot BC\cdot\sin\alpha$$Так как $BC=2$ и $\sin\alpha=2\sin u\cos u$, получаем:
$$S = a\cdot 2\cdot 2\sin u\cos u = 4a\sin u\cos u = 4$$Площадь параллелограмма равна $4$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ как высоту параллелограмма.
Забывают, что $\alpha = 2u$, и неверно преобразуют $\sin\alpha$.
При вычислении площади берут только один множитель $2$ вместо произведения $BC\cdot\sin\alpha$.