Решение: Расстояние от вершины до ортоцентра
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$, $AD = 16$, $MD = 4$. $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите $AH$.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим $BD = x$, $DC = y$. Поскольку $BC$ — диаметр полуокружности, угол $BMC$ прямой. Треугольник $BMC$ прямоугольный, а $MD$ — высота к гипотенузе $BC$.
$$\angle BMC = 90^\circ$$По свойству высоты, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника, имеем:
$$MD^2 = BD \cdot DC$$Следовательно, произведение отрезков, на которые точка $D$ делит $BC$, равно:
$$BD \cdot DC = MD^2 = 4^2 = 16$$Расположим $BC$ на горизонтальной оси, а высоту $AD$ — на вертикальной. Тогда $A$ имеет координату $16$ относительно прямой $BC$, а точка $H$ лежит на $AD$. Высота из вершины $B$ перпендикулярна $AC$. Из подобия соответствующих треугольников или из уравнения этой высоты получаем, что расстояние $HD$ равно:
$$HD = \frac{BD \cdot DC}{AD} = \frac{16}{16} = 1$$Точка $H$ расположена между $A$ и $D$, поэтому:
$$AH = AD - HD = 16 - 1 = 15$$15
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неправильно применяют свойство высоты в прямоугольном треугольнике и записывают $MD^2 = BD + DC$.
Забывают, что $H$ лежит на высоте $AD$.
Вычисляют $HD$, но не находят искомое расстояние $AH = AD - HD$.