Решение: Радиус окружности четырёхугольника
Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 40$ и $CD = 10$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём $\angle AKB = 60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Решение по шагам
6 шаговПусть $2x$ и $2y$ — величины центральных углов, опирающихся соответственно на хорды $AB$ и $CD$. По теореме о вписанных хордах, пересекающихся внутри окружности, угол между хордами равен половине суммы дуг, заключённых между сторонами этого угла.
$$\angle AKB = x+y = 60^\circ$$Длина хорды выражается через радиус окружности и половину соответствующего центрального угла.
$$AB=2R\sin x,\qquad CD=2R\sin y$$Подставим длины сторон и разделим первое равенство на второе.
$$\frac{\sin x}{\sin y}=\frac{40}{10}=4$$Так как $y=60^\circ-x$, получаем уравнение.
$$\sin x=4\sin(60^\circ-x)=4\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos x-\frac12\sin x\right)$$После преобразования находим тангенс угла $x$ и его синус.
$$3\sin x=2\sqrt3\cos x,\qquad \tan x=\frac{2\sqrt3}{3},\qquad \sin x=\frac{2}{\sqrt7}$$Используем формулу для хорды $AB$ и находим радиус.
$$40=2R\cdot\frac{2}{\sqrt7},\qquad R=10\sqrt7$$$10\sqrt7$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют разность дуг вместо суммы дуг при вычислении угла между пересекающимися хордами.
Забывают, что в формуле длины хорды используется половина центрального угла.
Ошибочно принимают $x+y$ за $120^\circ$, не учитывая множитель $\frac12$ в теореме о пересекающихся хордах.