Решение: Площадь параллелограмма
В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$. Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны $13$, $8$ и $5$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$.
Решение по шагам
7 шаговРадиус вписанной окружности равен расстоянию от $O$ до $AC$, поэтому $r=5$. Введём координаты: $A=(0,0)$, $AC$ — ось $x$, тогда $O=(12,5)$, так как $AO=13$.
$$12^2+5^2=13^2$$Прямая $AB$ проходит через начало координат и касается окружности с центром $O(12,5)$ и радиусом $5$. Помимо прямой $AC$, второй касательной является прямая
$$AB:\ y=\frac{120}{119}x$$Пусть нормальный вектор прямой $AD$ имеет координаты $(u,v)$. Так как расстояние от $O$ до $AD$ равно $8$, получаем $12u+5v=8$, а из условия единичности нормального вектора $u^2+v^2=1$. Выбираем положение прямой, при котором треугольник $ABC$ содержит точку $O$:
$$u=\frac{96+5\sqrt{105}}{169},\quad v=\frac{40-12\sqrt{105}}{169}$$Так как $BC\parallel AD$, нормальный вектор прямой $BC$ тот же. Расстояние от $O$ до $BC$ равно радиусу $5$, поэтому уравнение касательной $BC$ имеет вид
$$ux+vy=13$$Точка $C$ лежит на оси $x$, поэтому её абсцисса равна $13/u$. Точка $B$ находится на пересечении прямых $AB$ и $BC$. Если $m=120/119$, то её ордината равна $13m/(u-vm)$.
$$C=\left(\frac{13}{u},0\right),\quad y_B=\frac{13m}{u-vm}$$Площадь треугольника $ABC$ равна половине произведения основания $AC$ на высоту $y_B$. Площадь параллелограмма в два раза больше площади треугольника.
$$S_{ABCD}=AC\cdot y_B=\frac{169m}{u(u-vm)}$$Подставляя найденные значения, получаем
$$S_{ABCD}=\frac{169\cdot\frac{120}{119}}{\frac{96+5\sqrt{105}}{169}\left(\frac{96+5\sqrt{105}}{169}-\frac{40-12\sqrt{105}}{169}\cdot\frac{120}{119}\right)}\approx143{,}4$$Площадь параллелограмма примерно равна $143{,}4$ квадратной единицы.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать радиус окружности с расстоянием от точки $O$ до точки $A$.
Использовать расстояние от $O$ до $AD$ как радиус вписанной окружности.
Забывать, что площадь параллелограмма в два раза больше площади треугольника $ABC$.
Выбирать другую параллельную касательную к окружности, из-за чего точка $O$ оказывается вне треугольника $ABC$.