Решение: Радиус окружности в трапеции
В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно $49$ и $21$, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD$, если $AB=20$.
Решение по шагам
8 шаговВведём координаты: $A=(0,0)$, $D=(49,0)$, $B=(x,h)$, $C=(x+21,h)$. Тогда горизонтальная проекция отрезка $CD$ на основание $AD$ равна $49-21-x=28-x$.
$$AB^2=x^2+h^2=400$$Обозначим углы при основании $AD$ через $\alpha$ и $\beta$. Так как $\alpha+\beta=90^\circ$, то $\tan\alpha\tan\beta=1$.
$$\frac{h}{x}\cdot\frac{h}{28-x}=1$$Следовательно, $h^2=x(28-x)$. Совместно с равенством $x^2+h^2=400$ получаем $x^2+x(28-x)=400$, откуда $28x=400$ и $x=\frac{100}{7}$.
$$h^2=\frac{9600}{49},\qquad h=\frac{40\sqrt6}{7}$$Тогда можно использовать координаты $B=\left(\frac{100}{7},\frac{40\sqrt6}{7}\right)$ и $C=\left(\frac{247}{7},\frac{40\sqrt6}{7}\right)$. Уравнение прямой $CD$ имеет вид $5\sqrt6\,X+12Y-245\sqrt6=0$.
Пусть $O=(p,q)$ — центр искомой окружности, а её радиус равен $R$. Так как окружность проходит через $A=(0,0)$, то $R^2=p^2+q^2$. Так как она проходит через $B$, то $OB^2=OA^2$, поэтому
$$\frac{100}{7}p+\frac{40\sqrt6}{7}q=200,\qquad 5p+2\sqrt6q=70$$Вычислим выражение, стоящее в левой части уравнения прямой $CD$ для точки $O$:
$$5\sqrt6p+12q=\sqrt6(5p+2\sqrt6q)=70\sqrt6$$Расстояние от центра $O$ до прямой $CD$ равно радиусу окружности. Поэтому
$$\frac{|5\sqrt6p+12q-245\sqrt6|}{\sqrt{(5\sqrt6)^2+12^2}}=R$$Подставляя найденное значение выражения в числителе, получаем
$$R=\frac{175\sqrt6}{\sqrt{294}}=\frac{175\sqrt6}{7\sqrt6}=25$$Радиус искомой окружности равен $25$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют горизонтальную проекцию боковой стороны $CD$: она равна $28-x$, а не $21-x$.
Используют условие суммы углов без перехода к соотношению тангенсов.
Забывают, что расстояние от центра окружности до касательной прямой равно радиусу.
Ошибаются при составлении уравнения прямой $CD$ или при вычислении расстояния от точки до прямой.