Решение: Расстояние между хордами
Окружности радиусов $44$ и $77$ касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.
Решение по шагам
4 шагаОбозначим центры окружностей через $O_1$ и $O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:
$$O_1O_2=44+77=121$$Радиусы, проведённые в точки касания с одной и той же общей касательной, перпендикулярны этой касательной. Поэтому точки касания $A$ и $B$ лежат на прямой, перпендикулярной общей линии центров, и прямая $AB$ перпендикулярна $O_1O_2$. Аналогично, $CD\perp O_1O_2$, следовательно, $AB\parallel CD$.
Пусть $x$ — расстояние от центра первой окружности до прямой $AB$ вдоль линии центров, а $y$ — расстояние от центра второй окружности до прямой $CD$ в том же направлении. Из условия существования общей внешней касательной разность горизонтальных проекций радиусов пропорциональна разности радиусов. Поэтому расстояние между параллельными хордами равно расстоянию между центрами плюс поправка, обусловленная разностью радиусов:
$$h=O_1O_2+\frac{(77-44)^2}{121}$$Подставим значения радиусов и расстояния между центрами:
$$h=121+\frac{33^2}{121}=121+9=130$$Расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно $130$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Использовать разность радиусов вместо суммы при нахождении расстояния между центрами.
Считать, что прямые $AB$ и $CD$ совпадают с общими касательными.
Не обосновать параллельность прямых $AB$ и $CD$.