Решение: Площадь параллелограмма
В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$. Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны $25$, $13$ и $7$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$.
Решение по шагам
5 шаговРадиус вписанной окружности равен расстоянию от $O$ до $AC$, поэтому $r=7$. Из прямоугольного треугольника, образованного отрезком $AO$, его проекцией на $AC$ и радиусом, получаем длину проекции $AO$ на $AC$:
$$AT=\sqrt{AO^2-r^2}=\sqrt{25^2-7^2}=24$$Поскольку $AD\parallel BC$, а точка $O$ находится между параллельными прямыми $AD$ и $BC$, расстояние между ними равно $13+7=20$. Следовательно, площадь параллелограмма равна $S=20\cdot AC$.
Однако направление прямой $AD$ не задано однозначно. В координатах $A=(0,0)$, $AC$ — ось абсцисс, $O=(24,7)$; если $(n_x,n_y)$ — единичная нормаль к $AD$, то $24n_x+7n_y=13$. Это уравнение имеет два решения для $n_x$:
$$n_x=\frac{624\pm\sqrt{89376}}{1250}$$Так как прямая $BC$ находится на расстоянии $20$ от $AD$, из условия касания к вписанной окружности получаем $AC=20/n_x$. Поэтому возможны две различные площади:
$$S=20\cdot AC=\frac{400}{n_x}=\frac{500000}{624\pm\sqrt{89376}}$$Численно эти значения различны: примерно $541{,}7$ и $1533{,}7$. Следовательно, приведённое условие не определяет единственную площадь.
Однозначно найти площадь нельзя: условие допускает как минимум два значения площади — примерно $541{,}7$ и $1533{,}7$ квадратных единицы.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что расстояние от $O$ до $AD$ обязательно равно радиусу вписанной окружности.
Без доказательства принимать $AC=24$: число $24$ является лишь проекцией отрезка $AO$ на $AC$.
Не учитывать два возможных положения прямой $AD$.