Решение: Высоты треугольника и полуокружность
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$. $AD=90$, $MD=69$, $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите $AH$.
Решение по шагам
4 шагаОбозначим через $N$ вторую точку пересечения прямой $AD$ с окружностью. Так как центр окружности лежит на $BC$, а $AD\perp BC$, прямая $AD$ проходит через центр окружности перпендикулярно диаметру. Поэтому $M$ и $N$ симметричны относительно $D$, и $DN=DM=69$.
$$DN=69$$По теореме о произведении отрезков двух пересекающихся хорд для точки $D$ имеем:
$$DB\cdot DC=DM\cdot DN=69^2=4761$$Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. Его катеты имеют длины $AD=90$ и $DC$. Высота из точки $B$ перпендикулярна стороне $AC$. Из подобия соответствующих треугольников или из координатного вычисления расстояние от $D$ до точки $H$ равно:
$$DH=\frac{DB\cdot DC}{AD}=\frac{4761}{90}=52{,}9$$Так как точка $H$ лежит на отрезке $AD$, получаем:
$$AH=AD-DH=90-52{,}9=37{,}1$$AH=37,1
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что $DM$ является радиусом окружности.
Забывать, что вторая точка пересечения прямой $AD$ с окружностью находится на таком же расстоянии от $D$, как и $M$.
Вычислять $AH$ как $DH$, не учитывая, что $AH=AD-DH$.