Решение: Расстояние до ортоцентра
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$, $AD = 9$, $MD = 6$, $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите $AH$.
Решение по шагам
6 шаговВведём координаты: $D=(0;0)$, $A=(0;9)$. Так как $MD=6$ и точка $M$ лежит на отрезке $AD$, получаем $AM=9-6=3$, поэтому $M=(0;3)$.
Пусть $B=(-b;0)$, $C=(c;0)$, где $b>0$ и $c>0$. Уравнение окружности с диаметром $BC$ имеет вид $x^2+y^2+(b-c)x-bc=0$.
Подставим координаты точки $M=(0;3)$ в уравнение окружности: $3^2-bc=0$. Следовательно, $bc=9$.
Найдём точку пересечения высоты из вершины $B$ с высотой $AD$. Угловой коэффициент прямой $AC$ равен $-\dfrac{9}{c}$, поэтому угловой коэффициент перпендикулярной ей высоты из $B$ равен $\dfrac{c}{9}$.
Уравнение высоты из $B$ имеет вид $y=\dfrac{c}{9}(x+b)$. На прямой $AD$ имеем $x=0$, поэтому ордината точки $H$ равна $y_H=\dfrac{bc}{9}=\dfrac{9}{9}=1$.
Так как $A=(0;9)$ и $H=(0;1)$, то $AH=9-1=8$.
AH = 8
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно вычисляют $AM$: точка $M$ находится на высоте, поэтому $AM=AD-MD=3$.
Используют уравнение окружности с неправильным знаком свободного члена.
Забывают, что высота из $B$ перпендикулярна стороне $AC$, а не проходит через середину $AC$.
Вычисляют координату точки $H$, но не находят расстояние $AH$.