Решение: Площадь трапеции по биссектрисе
Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $12$ и $13$, а основание $BC$ равно $4$. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.
Решение по шагам
8 шаговВведём координаты: $D=(0,0)$, $A=(a,0)$, $B=(b,h)$, $C=(b+4,h)$. Тогда $AD\parallel BC$, причём $BC=4$.
Так как $CD=13$, имеем:
$$(b+4)^2+h^2=13^2=169$$Поскольку $AB=12$, получаем:
$$(b-a)^2+h^2=12^2=144$$Середина стороны $AB$ имеет координаты $M\left(\frac{a+b}{2},\frac h2\right)$. Направляющий вектор биссектрисы угла $ADC$ равен сумме единичных векторов вдоль $DA$ и $DC$. Поэтому для точки $M$ условие принадлежности биссектрисе даёт $a+b=13+b+4$, откуда $a=17$.
Подставим $a=17$ в уравнения для боковых сторон и вычтем их:
$$(b+4)^2-(b-17)^2=169-144=25$$Раскрывая скобки, получаем:
$$21(2b-13)=25,\qquad b=\frac{149}{21}$$Из равенства $(b+4)^2+h^2=169$ найдём высоту трапеции:
$$h^2=169-\left(\frac{233}{21}\right)^2=\frac{20240}{441},\qquad h=\frac{4\sqrt{1265}}{21}$$Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженному на высоту:
$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{17+4}{2}\cdot\frac{4\sqrt{1265}}{21}=2\sqrt{1265}$$Площадь трапеции равна $2\sqrt{1265}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определить, какие стороны являются основаниями трапеции.
Использовать длину боковой стороны $AB=12$ вместо основания при вычислении площади.
Не учитывать, что условие о биссектрисе задаёт дополнительную связь между длиной основания $AD$ и координатами точек.
Потерять множитель $\frac12$ в формуле площади трапеции.