Решение: Окружность и луч в треугольнике
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $9$ и $35$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{35}}{6}$.
Решение по шагам
7 шаговРасположим начало координат в точке $A$, а ось $Ox$ направим вдоль $AC$. Тогда координаты точек равны $M=(9,0)$ и $N=(35,0)$.
$$A=(0,0),\quad M=(9,0),\quad N=(35,0)$$Центр окружности, проходящей через $M$ и $N$, лежит на серединном перпендикуляре к $MN$. Поэтому его координаты имеют вид $O=(22;k)$.
$$\frac{9+35}{2}=22$$Радиус окружности выражается через координаты центра.
$$R^2=(22-9)^2+k^2=169+k^2$$Так как $\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{35}}{6}$ и угол треугольника острый, то $\sin\angle BAC=\dfrac{1}{6}$. Расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ равно $\left|22\sin\angle BAC-k\cos\angle BAC\right|$.
$$\left|\frac{22}{6}-\frac{k\sqrt{35}}{6}\right|=\sqrt{169+k^2}$$Возведём обе части в квадрат и упростим полученное уравнение.
$$\left(\frac{22}{6}-\frac{k\sqrt{35}}{6}\right)^2=169+k^2;\quad k^2+44\sqrt{35}\,k+5600=0$$Корни уравнения: $k=-4\sqrt{35}$ и $k=-40\sqrt{35}$. Для первого значения проекция центра на прямую $AB$ имеет положительную координату на луче: $22\cos\angle BAC+k\sin\angle BAC=3\sqrt{35}>0$. Для второго значения она отрицательна, поэтому касание происходит с продолжением луча, а не с лучом $AB$.
$$22\cdot\frac{\sqrt{35}}{6}+(-4\sqrt{35})\cdot\frac{1}{6}=3\sqrt{35}>0$$Находим радиус для допустимого значения $k=-4\sqrt{35}$.
$$R=\sqrt{169+(-4\sqrt{35})^2}=\sqrt{169+560}=\sqrt{729}=27$$Радиус окружности равен $27$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не проверяют, лежит ли точка касания на луче $AB$, а не на противоположном луче.
Ошибочно считают, что центр окружности имеет абсциссу $9$ или $35$, вместо абсциссы середины отрезка $MN$.
Используют только условие касания к прямой и не отбрасывают лишнее решение.