Решение: Площадь трапеции по биссектрисе
Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $10$ и $26$, а основание $BC$ равно $1$. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.
Решение по шагам
6 шаговРасположим основание $BC$ горизонтально: пусть $B=(1,0)$, $C=(0,0)$, а $A=(a,h)$ и $D=(d,h)$. Тогда $AD\parallel BC$, а $h$ — высота трапеции.
$$AB^2=(a-1)^2+h^2=100,\quad CD^2=d^2+h^2=676$$Направление луча $DA$ задаётся единичным вектором $(1,0)$, а направление луча $DC$ — вектором $\left(-\dfrac{d}{26},-\dfrac{h}{26}\right)$. Поэтому направление биссектрисы угла $ADC$ пропорционально сумме этих векторов.
$$\left(1-\dfrac{d}{26},-\dfrac{h}{26}\right)$$Середина стороны $AB$ имеет координаты $M\left(\dfrac{a+1}{2},\dfrac h2\right)$. При движении от точки $D$ по биссектрисе до уровня $y=\dfrac h2$ горизонтальная координата увеличивается на $13\left(1-\dfrac d{26}\right)=13-\dfrac d2$. Поэтому
$$\frac{a+1}{2}=d+13-\frac d2=13+\frac d2$$Из последнего равенства следует $a-d=25$, то есть $AD=25$. Так как $a=d+25$, сравним уравнения для боковых сторон:
$$(d+24)^2+h^2=100,\quad d^2+h^2=676$$Вычитая первое равенство из второго, получаем $d=-24$, следовательно, $a=1$. Тогда
$$h^2=676-(-24)^2=100,\quad h=10$$Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженному на высоту:
$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{25+1}{2}\cdot10=130$$Площадь трапеции равна $130$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определить направление биссектрисы угла $ADC$.
Перепутать боковые стороны и основания трапеции.
Использовать длину $CD=26$ без нормировки при составлении направления биссектрисы.
Забыть умножить полусумму оснований на высоту.