Решение: Радиус описанной окружности
Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 43$ и $CD = 4$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём $\angle AKB = 60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим через $2x$ и $2y$ центральные углы, опирающиеся на хорды $AB$ и $CD$ соответственно. По теореме об угле, образованном пересекающимися хордами, сумма дуг $AB$ и $CD$ равна $2\angle AKB=120^\circ$. Поэтому $x+y=60^\circ$.
$$x+y=60^\circ$$По формуле длины хорды выразим синусы половин соответствующих центральных углов:
$$\sin x=\frac{43}{2R},\qquad \sin y=\frac{4}{2R}$$Положим $z=(2R)^2$. Тогда $\sin x=\dfrac{43}{\sqrt z}$ и $\sin y=\dfrac{4}{\sqrt z}$. Так как $x+y=60^\circ$, имеем:
$$\sqrt{1-\frac{1849}{z}}\sqrt{1-\frac{16}{z}}-\frac{172}{z}=\frac12$$После возведения в квадрат и упрощения получаем квадратное уравнение:
$$3z^2-8148z-177600=0$$Положительный корень этого уравнения равен:
$$z=\frac{8148+\sqrt{68521104}}{6}$$Так как $z=(2R)^2$, радиус окружности равен:
$$R=\frac12\sqrt{\frac{8148+\sqrt{68521104}}{6}}\approx 26{,}16$$R=\frac12\sqrt{\frac{8148+\sqrt{68521104}}{6}}\approx 26{,}16
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют угол между хордами как сумму центральных углов, а не половину суммы соответствующих дуг.
Забывают, что длина хорды равна $2R\sin\frac{\alpha}{2}$.
Выбирают отрицательный корень квадратного уравнения.