Решение: Диаметр окружности в треугольнике
Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$. Найдите диаметр окружности, если $AB = 3$, $AC = 5$.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим центр окружности через $O$, а её радиус через $r$. Поскольку окружность касается прямой $AB$ в точке $B$, радиус $OB$ перпендикулярен касательной $AB$. Поэтому треугольник $AOB$ прямоугольный.
$$OB \perp AB$$Центр $O$ лежит на стороне $AC$, а окружность проходит через точку $C$, поэтому $OC$ также является радиусом окружности. Следовательно, $OC = OB = r$.
Обозначим $AO = x$. Тогда $OC = AC - AO = 5 - x$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $AOB$ получаем:
$$AO^2 = AB^2 + OB^2$$Подставим известные значения и выразим радиус через $x$:
$$x^2 = 3^2 + (5-x)^2$$Решим уравнение:
$$x^2 = 9 + 25 - 10x + x^2;\quad 10x = 34;\quad x = 3{,}4$$Тогда радиус окружности равен:
$$r = OC = 5 - 3{,}4 = 1{,}6$$Диаметр окружности в два раза больше радиуса:
$$d = 2r = 2 \cdot 1{,}6 = 3{,}2$$Диаметр окружности равен $3{,}2$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не используют тот факт, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Ошибочно принимают $AO$ за радиус окружности.
Забывают, что диаметр в два раза больше радиуса.