Решение: Радиус описанной окружности
Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=5$ и $CD=17$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём $\angle AKB=60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Решение по шагам
6 шаговУгол между пересекающимися хордами равен половине суммы дуг, стягиваемых этим углом и вертикальным ему углом. Поэтому сумма дуг $AB$ и $CD$ равна $120^\circ$, а сумма соответствующих половин дуг равна $60^\circ$.
$$x+y=60^\circ$$По формуле длины хорды выразим синусы половин дуг:
$$\sin x=\frac{AB}{2R}=\frac{5}{2R},\qquad \sin y=\frac{CD}{2R}=\frac{17}{2R}$$Используем формулу косинуса суммы. Так как $\cos 60^\circ=\frac12$, получаем:
$$\sqrt{\left(1-\frac{25}{4R^2}\right)\left(1-\frac{289}{4R^2}\right)}-\frac{85}{4R^2}=\frac12$$Возведём равенство в квадрат и упростим:
$$\left(1-\frac{25}{4R^2}\right)\left(1-\frac{289}{4R^2}\right)=\left(\frac12+\frac{85}{4R^2}\right)^2$$После сокращения получаем:
$$\frac{1}{4}=\frac{399}{4R^2},\qquad R^2=399$$Радиус окружности положителен, поэтому:
$$R=\sqrt{399}$$Радиус описанной окружности равен $\sqrt{399}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно применяют теорему об угле между пересекающимися хордами.
Путают дуги $AB$ и $CD$ с соответствующими центральными углами без деления на два.
Теряют множитель $2R$ в формуле длины хорды.
После нахождения $R^2$ записывают отрицательное значение радиуса.