Решение: Радиус окружности трапеции
В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно $18$ и $6$, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD$, если $AB=10$.
Решение по шагам
8 шаговРасположим трапецию в координатной плоскости: $A=(0,0)$, $D=(18,0)$, $B=(x,h)$, $C=(x+6,h)$. Тогда $AB^2=x^2+h^2=100$.
Обозначим угол при вершине $A$ через $\alpha$, а угол при вершине $D$ через $\beta$. Так как $\alpha+\beta=90^\circ$, имеем $\tan\beta=\cot\alpha$. Из координат следует $\tan\alpha=\dfrac{h}{x}$ и $\tan\beta=\dfrac{h}{12-x}$. Поэтому $\dfrac{h}{12-x}=\dfrac{x}{h}$, то есть $h^2=x(12-x)$.
Подставим это равенство в условие $AB=10$: $100=x^2+h^2=x^2+x(12-x)=12x$. Следовательно, $x=\dfrac{25}{3}$, а $h^2=\dfrac{275}{9}$ и $h=\dfrac{5\sqrt{11}}{3}$.
Пусть центр искомой окружности имеет координаты $O=(u,v)$. Так как окружность проходит через $A=(0,0)$, её уравнение имеет вид $X^2+Y^2-2uX-2vY=0$, а её радиус равен $R=\sqrt{u^2+v^2}$.
Подставляя координаты точки $B=\left(\dfrac{25}{3},\dfrac{5\sqrt{11}}{3}\right)$ в уравнение окружности, получаем $25u+5\sqrt{11}v=150$, или $5u+\sqrt{11}v=30$.
Прямая $CD$ проходит через точки $D=(18,0)$ и $C=\left(\dfrac{43}{3},\dfrac{5\sqrt{11}}{3}\right)$. Её уравнение можно записать так: $\dfrac{5\sqrt{11}}{3}(X-18)+\dfrac{11}{3}Y=0$.
Расстояние от центра $O=(u,v)$ до прямой $CD$ равно $R$, поскольку прямая касается окружности. Вычислим числитель формулы расстояния: $\dfrac{5\sqrt{11}}{3}(u-18)+\dfrac{11}{3}v=\dfrac{\sqrt{11}}{3}(5u+\sqrt{11}v-90)=-20\sqrt{11}$.
Нормирующий множитель равен $\sqrt{\left(\dfrac{5\sqrt{11}}{3}\right)^2+\left(\dfrac{11}{3}\right)^2}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}$. Поэтому $R=\dfrac{20\sqrt{11}}{2\sqrt{11}}=10$.
Радиус искомой окружности равен $10$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют горизонтальную проекцию боковой стороны $CD$ и используют $18-6$ вместо $12-x$.
Забывают, что сумма углов при основании равна $90^\circ$, поэтому тангенсы этих углов взаимно обратны.
При вычислении расстояния от центра окружности до прямой $CD$ не учитывают нормирующий множитель.