Решение: Расстояние до ортоцентра
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$, $AD = 9$, $MD = 3$. $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите $AH$.
Решение по шагам
5 шаговТак как $M$ лежит на высоте $AD$, имеем $AM = AD - MD = 9 - 3 = 6$.
Прямые $AD$ и $BC$ пересекают окружность в парах точек $A,M$ и $B,C$ соответственно. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд:
$$AM \cdot MD = BM \cdot MC$$Следовательно, $BM \cdot MC = 6 \cdot 3 = 18$. Поскольку $M$ находится на высоте, перпендикулярной $BC$, можно также рассмотреть координаты: $D=(0,0)$, $A=(0,9)$, $M=(0,6)$, $B=(-x,0)$, $C=(y,0)$. Уравнение окружности с диаметром $BC$ в точке $M$ даёт $xy=36$.
Найдём точку пересечения высоты из $B$ с прямой $AD$. Угловой коэффициент прямой $AC$ равен $-\dfrac{9}{y}$, поэтому угловой коэффициент перпендикулярной ей высоты из $B$ равен $\dfrac{y}{9}$. При $x=0$ эта высота имеет ординату:
$$y_H=\frac{y}{9}x+\frac{xy}{9}\bigg|_{x=0}=\frac{xy}{9}=\frac{36}{9}=4$$Точка $H$ находится на расстоянии $4$ от $D$, поэтому:
$$AH=AD-DH=9-4=5$$5
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать отрезки $AM$ и $AD$: $AM=6$, а не $9$.
Неверно применять теорему о пересекающихся хордах.
Находить расстояние $DH$ и записывать его как $AH$.