Решение: Площадь параллелограмма по расстояниям
В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$. Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны $25$, $14$ и $7$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$.
Решение по шагам
9 шаговРасстояние от центра вписанной окружности до стороны $AC$ является радиусом этой окружности, поэтому $r=7$.
Пусть $H$ — основание перпендикуляра из $O$ на $AC$. Тогда $OH=7$, $OA=25$, и треугольник $AOH$ прямоугольный. Следовательно, по теореме Пифагора:
$$AH=\sqrt{OA^2-OH^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24$$Так как $H$ — точка касания вписанной окружности со стороной $AC$, длина касательной от точки $A$ равна $24$. Поэтому касательные от точки $A$ к сторонам $AB$ и $AC$ также имеют длину $24$.
Обозначим $BC=a$. Если $s$ — полупериметр треугольника $ABC$, то сумма двух касательных от вершины $A$ равна $48$, поэтому
$$s=24+a$$Площадь треугольника $ABC$ можно выразить через радиус вписанной окружности:
$$S_{ABC}=rs=7(24+a)$$Расстояния от точки $O$ до параллельных прямых $AD$ и $BC$ складываются, так как точка $O$ находится между этими прямыми. Поэтому расстояние между прямыми $AD$ и $BC$ равно $14+7=21$. Это же высота треугольника $ABC$, проведённая к стороне $BC$.
Тогда площадь треугольника $ABC$ равна:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot a\cdot21=\frac{21a}{2}$$Приравниваем два выражения для площади:
$$\frac{21a}{2}=7(24+a)$$После деления на $7$ получаем $\frac{3a}{2}=24+a$, откуда $a=48$. Поскольку высота параллелограмма к основанию $BC$ равна $21$, его площадь равна:
$$S_{ABCD}=BC\cdot21=48\cdot21=1008$$Площадь параллелограмма равна $1008$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать расстояние между прямыми $AD$ и $BC$ равным $14-7$ вместо $14+7$.
Забывать, что расстояние от центра вписанной окружности до стороны треугольника равно радиусу.
Путать площадь треугольника $ABC$ с площадью параллелограмма $ABCD$.