Решение: Радиус окружности и луч
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $18$ и $22$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{11}}{6}$.
Решение по шагам
6 шаговРасположим точки на координатной плоскости: $A=(0;0)$, $M=(18;0)$, $N=(22;0)$. Центр окружности, проходящей через $M$ и $N$, лежит на серединном перпендикуляре к $MN$, поэтому имеет координаты $O=(20;k)$.
$$R^2=OM^2=20^2-18^2+k^2=400+k^2$$Так как $\cos \angle BAC=\dfrac{\sqrt{11}}{6}$, то $\sin \angle BAC=\dfrac{5}{6}$. Уравнение прямой $AB$ можно задать направляющим вектором $\left(\dfrac{\sqrt{11}}{6};\dfrac{5}{6}\right)$.
Расстояние от центра $O$ до прямой $AB$ должно быть равно радиусу окружности.
$$\left|20\cdot\frac{5}{6}-k\cdot\frac{\sqrt{11}}{6}\right|=\sqrt{400+k^2}$$После возведения в квадрат и упрощения получаем квадратное уравнение для координаты центра.
$$k^2+48\sqrt{11}k-13824=0$$Корни этого уравнения равны $k=24(\sqrt{35}-\sqrt{11})$ и $k=-24(\sqrt{35}+\sqrt{11})$. Второй корень не подходит: при нём точка касания находится на продолжении прямой $AB$, а не на луче $AB$.
Для подходящего значения $k$ найдём радиус.
$$R=\sqrt{400+\left(24(\sqrt{35}-\sqrt{11})\right)^2}=\sqrt{26896-1152\sqrt{385}}$$R=\sqrt{26896-1152\sqrt{385}}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют значение $\cos \angle BAC=\dfrac{11}{6}$ вместо правильного $\dfrac{\sqrt{11}}{6}$.
Не проверяют, что точка касания лежит на луче $AB$, а не на противоположном направлении.
Берут радиус как расстояние от центра до точки $A$, хотя окружность проходит через точки $M$ и $N$, а не через $A$.