Решение: Радиус касающейся окружности

Введём координаты: $A=(0,0)$, сторона $AC$ совпадает с осью $Ox$. Тогда $M=(9,0)$ и $N=(32,0)$.

Пусть уравнение окружности имеет вид $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$. Так как окружность проходит через $M$ и $N$, получаем $81+9D+F=0$ и $1024+32D+F=0$. Отсюда $D=-41$, $F=288$. Обозначим $E=-2k$. Тогда уравнение окружности: $x^2+y^2-41x-2ky+288=0$.

Обозначим $\alpha=\angle BAC$. Из условия $\cos\alpha=\dfrac{2\sqrt2}{3}$, поэтому $\sin\alpha=\dfrac13$. Точки луча $AB$ имеют координаты $x=t\cos\alpha$, $y=t\sin\alpha$, где $t\ge 0$.

Подставим координаты точки луча в уравнение окружности. Так как $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$, получаем квадратное уравнение $t^2-(41\cos\alpha+2k\sin\alpha)t+288=0$.

Для касания луча окружностью это уравнение должно иметь единственный корень, поэтому его дискриминант равен нулю: $(41\cos\alpha+2k\sin\alpha)^2-4\cdot288=0$. Корень должен быть положительным, так как точка касания лежит на луче $AB$, следовательно, $41\cos\alpha+2k\sin\alpha=24\sqrt2$.

Подставим значения синуса и косинуса: $41\cdot\dfrac{2\sqrt2}{3}+2k\cdot\dfrac13=24\sqrt2$. После умножения на $3$ получаем $82\sqrt2+2k=72\sqrt2$, откуда $k=-5\sqrt2$.

Центр окружности имеет координаты $\left(\dfrac{41}{2},k\right)$. Поэтому радиус удовлетворяет равенству $R^2=\left(\dfrac{41}{2}\right)^2+k^2-288=\dfrac{1681}{4}+50-288=\dfrac{729}{4}$.