Окружность и луч
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $12$ и $45$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Точки и лежат на стороне треугольника на расстояниях соответственно 12 и 45 от вершины . Найдите радиус окружности, проходящей через точки и и касающейся луча , если . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Где расположен центр окружности, проходящей через две точки $M$ и $N$ на одной прямой?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Введём координаты: $A=(0,0)$, $AC$ — ось абсцисс, тогда $M=(12,0)$, $N=(45,0)$. Центр окружности имеет координаты $O=\left(\dfrac{57}{2},y\right)$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Расстояние от центра $O$ до прямой $AB$ равно радиусу окружности: $\left|\dfrac{57}{8}-\dfrac{\sqrt{15}}{4}y\right|=R$, а $R^2=\left(\dfrac{33}{2}\right)^2+y^2$.