Ответ: Окружность и луч
Радиусы окружностей: $R\approx22{,}26$ и $R\approx237{,}72$.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $12$ и $45$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$.
Где здесь ошибаются
Используют $\cos \angle BAC=\dfrac{15}{4}$ вместо правильного значения $\dfrac{\sqrt{15}}{4}$.
Считают, что центр окружности обязательно лежит на стороне $AC$.
Учитывают только один корень квадратного уравнения, хотя оба соответствуют касанию луча $AB$.
Приравнивают расстояние от центра до прямой к диаметру вместо радиуса.