Расстояние до ортоцентра
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$, $AD = 9$, $MD = 3$. $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите $AH$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На стороне остроугольного треугольника как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту в точке , , , | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Введём обозначения $BD = x$ и $DC = y$. Как связаны $x$ и $y$ из условия принадлежности точки $M$ полуокружности с диаметром $BC$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Используйте теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд: $BM \cdot MC = AM \cdot MD$. Затем выразите высоту из точки $B$ и найдите координату точки $H$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Так как $AM = AD - MD = 6$, получаем $BM \cdot MC = 18$. При координатах $D=(0,0)$, $A=(0,9)$, $B=(-x,0)$, $C=(y,0)$ это даёт $xy=36$. Высота из $B$ пересекает $AD$ в точке с координатой $\dfrac{xy}{9}=4$, поэтому $AH=9-4=5$.