Решение: Длина хорды в треугольнике
Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$. Найдите длину отрезка $KP$, если $AP = 21$, а сторона $BC$ в $1{,}5$ раза меньше стороны $AB$.
Решение по шагам
6 шаговТак как точки $A$, $K$, $B$ лежат на одной секущей, а точки $A$, $P$, $C$ — на другой, применяем теорему о секущих:
$$AK\cdot AB=AP\cdot AC$$Четырёхугольник $BKPC$ вписан в окружность. Поэтому треугольники $AKP$ и $ABC$ подобны: угол при вершине $A$ у них общий, а остальные углы равны как вписанные, опирающиеся на соответствующие дуги.
$$\frac{AK}{AB}=\frac{AP}{AC}=\frac{KP}{BC}$$Пусть коэффициент подобия треугольника $AKP$ к треугольнику $ABC$ равен $t$. Тогда $AK=t\cdot AB$, $AP=t\cdot AC$. Подставим эти выражения в теорему о секущих:
$$(t\cdot AB)\cdot AB=(t\cdot AC)\cdot AC$$Так как $t\ne 0$, получаем $AB^2=AC^2$, следовательно, $AB=AC$. По условию $BC$ в $1{,}5$ раза меньше $AB$, поэтому:
$$\frac{BC}{AB}=\frac{1}{1{,}5}=\frac{2}{3}$$Из подобия треугольников:
$$\frac{KP}{BC}=\frac{AP}{AC}=\frac{21}{AB}$$Следовательно, учитывая отношение $BC$ к $AB$, находим длину отрезка $KP$:
$$KP=21\cdot\frac{BC}{AB}=21\cdot\frac{2}{3}=14$$14
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно применяют теорему о секущих и записывают произведение отрезков не на одной секущей.
Не обосновывают подобие треугольников $AKP$ и $ABC$.
Ошибочно принимают условие «в 1,5 раза меньше» за отношение $\frac{BC}{AB}=1{,}5$ вместо $\frac{2}{3}$.
Указывают только число без развёрнутого обоснования.