Решение: Длина хорды между сторонами
Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$. Найдите длину отрезка $KP$, если $AK=7$, а сторона $AC$ в $1{,}4$ раза больше стороны $BC$.
Решение по шагам
5 шаговТак как из точки $A$ проведены две секущие $A-K-B$ и $A-P-C$, по теореме о произведении отрезков секущих:
$$AK \cdot AB = AP \cdot AC$$Следовательно, $\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AP}{AC}$. Треугольники $AKP$ и $ABC$ подобны, поэтому отрезок $KP$ параллелен $BC$.
$$\frac{KP}{BC}=\frac{AK}{AB}$$Подставляя $AK=7$, получаем:
$$KP=\frac{7\,BC}{AB}$$Условие $AC=1{,}4\,BC$ задаёт только отношение сторон $AC$ и $BC$, но не задаёт сторону $AB$. Поэтому значение $KP$ не определяется однозначно.
Например, пусть $BC=10$ и $AC=14$. При $AB=14$ получаем $KP=5$, а при $AB=10$ получаем $KP=7$. В обоих случаях условие $AC=1{,}4\,BC$ выполнено, но ответы различны.
Длину $KP$ однозначно найти нельзя: из условия следует только $KP=\dfrac{7\,BC}{AB}$, а длина $AB$ или её отношение к $BC$ не задано.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что из условия $AC=1{,}4\,BC$ следует значение стороны $AB$.
Подставлять $1{,}4$ вместо отношения $BC:AB$ в формулу для $KP$.
Считать, что данных достаточно только потому, что задано одно числовое значение $AK$.