Решение: Перпендикуляр к радиусу окружности
В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 60$, $AC = 80$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдите $CD$.
Решение по шагам
6 шаговПусть $H$ и $K$ — основания перпендикуляров из точек $B$ и $C$ на прямую $AO$. Поскольку $O$ — центр описанной окружности, $OA = OB = OC$.
Из прямоугольных треугольников $AOB$ и $AOC$ по теореме Пифагора получаем:
$$AB^2 = AO^2 + BH^2, \quad OB^2 = (AO-AH)^2 + BH^2$$Вычитая равенства и учитывая $OA=OB$, получаем $AB^2=2AO\cdot AH$. Аналогично $AC^2=2AO\cdot AK$, поэтому
$$\frac{AH}{AK}=\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{60^2}{80^2}=\frac{9}{16}$$Так как $BD \perp AO$ и $CK \perp AO$, прямые $BD$ и $CK$ параллельны. Следовательно, треугольники $AHD$ и $AKC$ подобны, и
$$\frac{AD}{AC}=\frac{AH}{AK}=\frac{9}{16}$$Находим длину отрезка $AD$:
$$AD=80\cdot\frac{9}{16}=45$$Тогда
$$CD=AC-AD=80-45=35$$$CD=35$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют отношение сторон $AB:AC$, хотя в данной конфигурации возникает отношение квадратов этих сторон.
Не обосновывают параллельность прямых $BD$ и $CK$.
Вычитают из $AC$ длину не $AD$, а неверно найденный отрезок.