Решение: Радиус окружности и касательная
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $18$ и $40$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
Решение по шагам
8 шаговРасположим $A$ в начале координат, а $AC$ направим вдоль положительной полуоси $Ox$. Тогда $M(18;0)$ и $N(40;0)$.
Центр $O$ окружности, проходящей через $M$ и $N$, лежит на серединном перпендикуляре к $MN$. Поэтому $O(29;k)$, а радиус окружности равен
$$R=\sqrt{(29-18)^2+k^2}=\sqrt{121+k^2}$$Так как $\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt5}{3}$, то $\sin\angle BAC=\dfrac{2}{3}$. Уравнение прямой $AB$ можно записать в виде $2x-\sqrt5y=0$.
Расстояние от центра $O(29;k)$ до прямой $AB$ равно радиусу окружности. Получаем
$$\frac{|2\cdot29-\sqrt5 k|}{3}=\sqrt{121+k^2}$$После возведения в квадрат и упрощения получаем квадратное уравнение
$$4k^2+58\sqrt5\,k-2275=0$$Его корни имеют вид
$$k=\frac{-29\sqrt5\pm\sqrt{13305}}{4}$$Корень с минусом не подходит: соответствующая точка касания лежит на продолжении прямой $AB$, а не на луче $AB$. Поэтому
$$k=\frac{\sqrt{13305}-29\sqrt5}{4}$$Подставляя значение $k$ в формулу радиуса, получаем
$$R=\sqrt{121+\left(\frac{\sqrt{13305}-29\sqrt5}{4}\right)^2}\approx16{,}75$$Радиус окружности равен $\sqrt{121+\left(\dfrac{\sqrt{13305}-29\sqrt5}{4}\right)^2}\approx16{,}75$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют расстояние до прямой $AB$, но не проверяют, что точка касания лежит именно на луче $AB$.
Ошибочно считают, что центр окружности имеет абсциссу $20$ вместо $29$.
Теряют модуль при вычислении расстояния от центра до прямой.