Длина отрезка CD
В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 84$, $AC = 98$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдите $CD$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В треугольнике известны длины сторон , , точка центр окружности, описанной около треугольника . Прямая , перпендикулярная прямой , пересекает сторону в точке . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Рассмотрите проекции векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ на прямую $AO$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Так как $O$ — центр описанной окружности, для любой точки $X$ треугольника $ABC$ выполняется $AX^2 = 2R \cdot \operatorname{proj}_{AO} AX$, где $R = AO$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Поскольку $BD \perp AO$, точки $B$ и $D$ имеют одинаковые проекции на $AO$. Поэтому $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AB^2}{AC^2} = \dfrac{36}{49}$, откуда $CD = 98\left(1 - \dfrac{36}{49}\right)$.