Решение: Длина отрезка CD
В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 84$, $AC = 98$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдите $CD$.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим радиус описанной окружности через $R$. Для точки $B$ рассмотрим её проекцию на прямую $AO$. Так как $OB = OA = R$, из прямоугольного треугольника, образованного радиусом и проекцией, получаем:
$$AB^2 = 2R \cdot \operatorname{proj}_{AO} AB$$Аналогично для точки $C:
$$AC^2 = 2R \cdot \operatorname{proj}_{AO} AC$$Поскольку $BD \perp AO$, отрезок $BD$ перпендикулярен направлению проекций, поэтому проекции точек $B$ и $D$ на прямую $AO$ совпадают. Так как $D \in AC$, имеем:
$$\frac{AD}{AC} = \frac{\operatorname{proj}_{AO} AB}{\operatorname{proj}_{AO} AC} = \frac{AB^2}{AC^2}$$Подставим известные длины сторон:
$$\frac{AD}{98} = \frac{84^2}{98^2} = \frac{36}{49}$$Тогда $AD = 98 \cdot \frac{36}{49} = 72$, и длина отрезка $CD$ равна:
$$CD = AC - AD = 98 - 72 = 26$$Ответ: $26$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют теорему Пифагора без обоснования, какие треугольники являются прямоугольными.
Неверно связывают равенство проекций точек $B$ и $D$ с условием $BD \perp AO$.
Вычитают из $98$ величину $98 \cdot \frac{13}{49}$ вместо найденного значения $AD$.