Решение: Перпендикулярные биссектриса и медиана
В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную $8$. Найдите стороны треугольника $ABC$.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим $AB=c$, $BC=a$ и пусть $\alpha$ — угол между биссектрисой $BE$ и стороной $BA$. Разместим биссектрису $BE$ на оси абсцисс, а точку $B$ примем за начало координат. Тогда можно записать координаты вершин:
$$A=(c\cos\alpha,\ c\sin\alpha),\quad C=(a\cos\alpha,\ -a\sin\alpha)$$Так как $D$ — середина стороны $BC$, её координаты равны:
$$D=\left(\frac{a\cos\alpha}{2},\ -\frac{a\sin\alpha}{2}\right)$$Поскольку $AD\perp BE$, а $BE$ лежит на оси абсцисс, отрезок $AD$ вертикален. Значит, абсциссы точек $A$ и $D$ совпадают:
$$c\cos\alpha=\frac{a\cos\alpha}{2},\quad a=2c$$Длина медианы $AD$ равна разности ординат точек $A$ и $D$:
$$AD=c\sin\alpha+\frac{a\sin\alpha}{2}=c\sin\alpha+c\sin\alpha=2c\sin\alpha=8$$Следовательно, $c\sin\alpha=4$. Найдём расстояние от $B$ до точки пересечения биссектрисы с $AC$. При $a=2c$ точка $E$ делит отрезок $AC$ так, что её абсцисса равна $\frac{4}{3}c\cos\alpha$. Поэтому:
$$BE=\frac{4}{3}c\cos\alpha=8,\quad c\cos\alpha=6$$Из равенств $c\sin\alpha=4$ и $c\cos\alpha=6$ получаем:
$$c^2=(c\sin\alpha)^2+(c\cos\alpha)^2=4^2+6^2=52,\quad c=2\sqrt{13}$$Тогда $a=2c=4\sqrt{13}$. Для третьей стороны используем координаты или теорему косинусов. Разности координат точек $A$ и $C$ равны $c\cos\alpha$ и $-3c\sin\alpha$, поэтому:
$$AC^2=(c\cos\alpha)^2+(3c\sin\alpha)^2=6^2+(3\cdot4)^2=180$$AB=2\sqrt{13},\quad BC=4\sqrt{13},\quad AC=6\sqrt{5}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют координаты середины стороны $BC$.
Забывают, что при расположении $BE$ на оси абсцисс перпендикулярный ей отрезок $AD$ должен быть вертикальным.
Путают стороны $AB$ и $BC$ при выводе соотношения $BC=2AB$.