Радиус окружности и касательная
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $24$ и $42$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Точки и лежат на стороне треугольника на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины . Найдите радиус окружности, проходящей через точки и и касающейся луча , если . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Разместите точку $A$ в начале координат, а сторону $AC$ — на оси абсцисс. Как будут выглядеть координаты точек $M$ и $N$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Центр окружности, проходящей через $M(24;0)$ и $N(42;0)$, лежит на серединном перпендикуляре к $MN$. Используйте расстояние от центра до прямой $AB$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Пусть центр окружности имеет координаты $(33;y)$. Так как $\sin \angle BAC=\dfrac{3}{4}$, направляющий вектор луча $AB$ можно взять равным $\left(\dfrac{\sqrt7}{4},\dfrac34\right)$. Из условия касания получите $\left(\dfrac{99-y\sqrt7}{4}\right)^2=81+y^2$.