Решение: Радиус касающейся окружности
В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно $34$ и $14$, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD$, если $AB=12$.
Решение по шагам
7 шаговРасположим трапецию в координатной плоскости: $A(0,0)$, $D(34,0)$, $B(x,h)$, $C(x+14,h)$. Тогда горизонтальная проекция отрезка $CD$ равна $x-20$.
Пусть $\alpha=\angle A$, $\beta=\angle D$. Из условия $\alpha+\beta=90^\circ$ получаем $\tan\alpha\tan\beta=1$, то есть $\dfrac{h}{x}\cdot\dfrac{h}{20-x}=1$.
$$h^2=x(20-x)$$Так как $AB=12$, имеем $x^2+h^2=144$. Подставляя выражение для $h^2$, получаем $x^2+x(20-x)=144$, откуда $x=7{,}2$.
Следовательно, $h^2=7{,}2\cdot12{,}8=92{,}16$, поэтому $h=9{,}6$. Координаты точек: $B(7{,}2;9{,}6)$, $C(21{,}2;9{,}6)$.
Прямая $CD$ имеет уравнение $3x+4y-102=0$. Пусть окружность проходит через $A$ и $B$ и имеет уравнение $x^2+y^2+ux+vy=0$. Подстановка координат точки $B$ даёт $12u+9{,}6v+144=0$, или $v=-15-1{,}25u$.
Центр окружности имеет координаты $\left(-\dfrac u2,-\dfrac v2\right)$, а её радиус равен $\dfrac12\sqrt{u^2+v^2}$. Условие касания прямой $CD$ приводит к уравнению
$$(2u-144)^2=25\left(u^2+(-15-1{,}25u)^2\right)$$После упрощения получаем квадратное уравнение $961u^2+24216u-241776=0$. Оно имеет два корня, которым соответствуют два радиуса: примерно $12{,}87$ и $20{,}97$.
Получаются два возможных радиуса: $R\approx12{,}87$ и $R\approx20{,}97$. Следовательно, при формулировке «касаться прямой $CD$» задача не имеет единственного ответа.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что условие касания прямой задаёт единственную окружность.
Путать горизонтальную проекцию отрезка $CD$ с длиной основания $BC$.
Использовать условие касания к отрезку $CD$, хотя в условии указана прямая $CD$.