Решение: Радиус описанной окружности
Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 39$ и $CD = 12$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём $\angle AKB = 60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим через $u$ и $v$ половины центральных углов, опирающихся соответственно на хорды $AB$ и $CD$. По теореме об угле, образованном пересекающимися хордами, угол между диагоналями равен полусумме дуг $AB$ и $CD$, поэтому $u+v=60^\circ$.
$$u+v=60^\circ$$Для хорды длиной $l$ справедливо $l=2R\sin\alpha$, где $\alpha$ — половина соответствующего центрального угла. Поэтому
$$\sin u=\frac{39}{2R},\qquad \sin v=\frac{12}{2R}$$Применим формулу косинуса суммы. Так как $u+v=60^\circ$, получаем
$$\sqrt{1-\frac{1521}{4R^2}}\sqrt{1-\frac{144}{4R^2}}-\frac{468}{4R^2}=\frac12$$Возведём равенство в квадрат и упростим:
$$\left(1-\frac{1521}{4R^2}\right)\left(1-\frac{144}{4R^2}\right)=\left(\frac12+\frac{468}{4R^2}\right)^2$$После сокращения одинаковых слагаемых получаем
$$\frac{1}{4R^2}=\frac{1}{2844}$$Следовательно,
$$R^2=711,\qquad R=\sqrt{711}$$Радиус описанной окружности равен $\sqrt{711}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно применяют теорему об угле между пересекающимися хордами и берут разность дуг вместо их полусуммы.
Используют формулу длины хорды без множителя $2R$.
Теряют положительный корень при извлечении квадратного корня.