Решение: Площадь параллелограмма
В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$. Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны $25$, $19$ и $7$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$.
Решение по шагам
7 шаговРасстояние от центра вписанной окружности до стороны $AC$ равно радиусу окружности, поэтому $r=7$.
Пусть $H$ — основание перпендикуляра из $O$ на $AC$. В прямоугольном треугольнике $AOH$ имеем:
$$AH=\sqrt{AO^2-OH^2}=\sqrt{25^2-7^2}=24$$Выберем координаты $A=(0,0)$, $AC$ — ось абсцисс. Тогда $O=(24,7)$. Уравнение прямой $AD$, проходящей через начало координат, запишем в виде $y=kx$. Из условия $\rho(O,AD)=19$ получаем:
$$\frac{|7-24k|}{\sqrt{1+k^2}}=19$$Для стороны $BC$, параллельной $AD$, берём корень, соответствующий расположению точки $O$ внутри треугольника $ABC$: $k\approx2{,}21727$. Расстояние от $O$ до $BC$ равно $7$, поэтому уравнение $BC$ имеет вид $y=k(x-c)$, где $c$ — абсцисса точки $C$.
Подставляя координаты точки $O$ и используя расстояние от неё до $BC$, получаем:
$$c\approx28{,}521$$Следовательно, $AC\approx28{,}521$. Расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC$ равно $19+7=26$, поэтому это высота параллелограмма, проведённая к основанию $AC$.
Площадь параллелограмма равна:
$$S=AC\cdot h\approx28{,}521\cdot26\approx742{,}0$$Площадь параллелограмма примерно равна $742$ квадратным единицам.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Принимают расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC$ равным $19-7$, хотя точка $O$ находится между этими прямыми.
Забывают, что расстояние от центра вписанной окружности до стороны треугольника равно радиусу.
Используют расстояние $AO=25$ как высоту вместо вычисления проекции $AH=24$.