Решение: Расстояние до ортоцентра
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$, $AD = 45$, $MD = 15$. $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите $AH$.
Решение по шагам
6 шаговРасположим координатные оси так, чтобы точка $D$ была началом координат, сторона $BC$ лежала на оси $Ox$, а высота $AD$ — на оси $Oy$. Тогда $A=(0,45)$, $M=(0,15)$, а точки $B$ и $C$ имеют координаты $B=(b,0)$ и $C=(c,0)$.
Уравнение окружности, диаметр которой имеет концы $B=(b,0)$ и $C=(c,0)$, имеет вид $x^2+y^2-(b+c)x+bc=0$.
$$x^2+y^2-(b+c)x+bc=0$$Так как точка $M=(0,15)$ лежит на полуокружности, подставим её координаты в уравнение окружности.
$$15^2+bc=0$$Следовательно, произведение координат точек $B$ и $C$ равно $bc=-225$.
$$bc=-225$$Найдём положение ортоцентра $H$. Угол наклона прямой $AC$ имеет коэффициент $-45/c$, поэтому высота, проведённая из точки $B$, имеет коэффициент $c/45$. При $x=0$, то есть на высоте $AD$, эта высота пересекает её в точке с ординатой $-bc/45$.
$$y_H=-\frac{bc}{45}=-\frac{-225}{45}=5$$Таким образом, $DH=5$, а искомое расстояние равно разности $AD$ и $DH$.
$$AH=AD-DH=45-5=40$$AH=40
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать расстояния $MD=15$ и $AM=30$.
Использовать свойство диаметра без учёта того, что точка $M$ лежит на окружности.
Вычислить $DH=5$, но записать его как искомое $AH$.