Решение: Длина отрезка CD
В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 36$, $AC = 54$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдите $CD$.
Решение по шагам
4 шагаОбозначим радиус описанной окружности через $R$. Опустим из точек $B$ и $C$ перпендикуляры на прямую $AO$. Для точки $B$ проекция отрезка $AB$ на $AO$ равна $\dfrac{AB^2}{2R}$, а для точки $C$ — $\dfrac{AC^2}{2R}$. Это следует из уравнения окружности или из теоремы о проекции хорды.
$$x_B = \dfrac{AB^2}{2R}, \qquad x_C = \dfrac{AC^2}{2R}$$Поскольку $BD \perp AO$, точка $D$ имеет такую же проекцию на $AO$, как и точка $B$. Точка $D$ лежит на отрезке $AC$, поэтому отношение $AD:AC$ равно отношению проекций $x_B:x_C$.
$$\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{x_B}{x_C} = \dfrac{AB^2}{AC^2}$$Подставим известные длины сторон.
$$\dfrac{AD}{54} = \dfrac{36^2}{54^2} = \dfrac{1296}{2916} = \dfrac{4}{9}$$Найдём длину отрезка $CD$.
$$CD = AC - AD = 54\left(1 - \dfrac{4}{9}\right) = 54 \cdot \dfrac{5}{9} = 30$$CD = 30
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют отношение длин $AB:AC$ вместо отношения их квадратов.
Забывают, что из перпендикулярности $BD$ и $AO$ следует равенство проекций точек $B$ и $D$ на прямую $AO$.
Находят $AD = 30$ и принимают его за $CD$.