Длина отрезка CD
В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 36$, $AC = 54$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдите $CD$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В треугольнике известны длины сторон , , точка центр окружности, описанной около треугольника . Прямая , перпендикулярная прямой , пересекает сторону в точке . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Рассмотрите проекции точек $B$ и $C$ на прямую $AO$. Как связаны эти проекции с длинами $AB$ и $AC$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Если $R = AO$, то для любой точки $X$ окружности проекция отрезка $AX$ на прямую $AO$ равна $\dfrac{AX^2}{2R}$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Так как $BD \perp AO$, точки $B$ и $D$ имеют одинаковые проекции на $AO$. Поэтому $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AB^2}{AC^2} = \dfrac{36^2}{54^2} = \dfrac{4}{9}$, откуда $CD = 54\left(1 - \dfrac{4}{9}\right)$.