Решение: Высота и полуокружность
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$, $AD=72$, $MD=18$. $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите $AH$.
Решение по шагам
5 шаговПоскольку $M$ лежит на полуокружности с диаметром $BC$, а $D$ лежит на прямой $BC$, применяем теорему о степени точки $D$ относительно окружности:
$$DB \cdot DC = DM^2$$Подставим известное значение $DM$:
$$DB \cdot DC = 18^2 = 324$$Пусть $H$ — точка пересечения высот. Из подобия соответствующих треугольников, образованных высотами, следует:
$$DH=\frac{DB\cdot DC}{AD}$$Вычислим длину $DH$:
$$DH=\frac{324}{72}=4{,}5$$Так как точка $H$ лежит на отрезке $AD$, получаем:
$$AH=AD-DH=72-4{,}5=67{,}5$$67,5
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют $AM=54$ вместо $DM=18$ в теореме о степени точки.
Находят $DH$, но записывают его как ответ вместо $AH$.
Забывают, что $AH=AD-DH$.