Решение: Длина хорды KP
Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$. Найдите длину отрезка $KP$, если $AP = 36$, а сторона $BC$ в $1{,}8$ раза меньше стороны $AB$.
Решение по шагам
5 шаговТак как из точки $A$ проведены две секущие к окружности, по теореме о произведении отрезков секущих:
$$AK \cdot AB = AP \cdot AC$$Разделим равенство на $AB \cdot AP$ и учтём, что $AP = 36$:
$$\frac{AK}{AP} = \frac{AC}{AB}$$Обозначим $\angle BAC = \alpha$. По теореме косинусов для треугольников $AKP$ и $ABC$:
$$KP^2 = AK^2 + AP^2 - 2AK \cdot AP \cos\alpha$$Подставляя $AK = AP \cdot \frac{AC}{AB}$, получаем:
$$KP^2 = \frac{AP^2}{AB^2}\left(AC^2 + AB^2 - 2AC \cdot AB\cos\alpha\right) = \frac{AP^2}{AB^2}BC^2$$Следовательно, $\dfrac{KP}{BC} = \dfrac{AP}{AB}$. По условию $BC = \dfrac{AB}{1{,}8}$, поэтому:
$$KP = \frac{AP}{AB}\cdot BC = \frac{36}{AB}\cdot\frac{AB}{1{,}8} = 20$$20
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неправильно применяют теорему о секущих, записывая $AK \cdot AP = AB \cdot AC$.
Пытаются считать треугольники $AKP$ и $ABC$ непосредственно подобными без доказательства.
Забывают, что сторона $BC$ в $1{,}8$ раза меньше $AB$, то есть $BC = \dfrac{AB}{1{,}8}$.