Решение: Длина хорды в треугольнике
Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$. Найдите длину отрезка $KP$, если $AP = 9$, а сторона $BC$ в 3 раза меньше стороны $AB$.
Решение по шагам
6 шаговТак как точки $A$, $K$, $B$ лежат на одной прямой, а точки $A$, $P$, $C$ — на другой, применим теорему о степени точки $A$ относительно окружности:
$$AK \cdot AB = AP \cdot AC$$Углы $KAP$ и $BAC$ равны. Кроме того, вписанные углы $AKP$ и $ABC$ опираются на одну и ту же дугу $BP$. Следовательно, треугольники $AKP$ и $ABC$ подобны.
$$\triangle AKP \sim \triangle ABC$$Из подобия треугольников получаем отношение соответствующих сторон:
$$\frac{KP}{BC} = \frac{AP}{AC}$$С учётом $AP = 9$ имеем:
$$KP = \frac{9 \cdot BC}{AC}$$Условие $BC = \frac{AB}{3}$ задаёт только отношение $AB$ и $BC$, но не задаёт длину $AC$. Поэтому значение отношения $\frac{BC}{AC}$ неизвестно, и длину $KP$ найти однозначно нельзя.
$$KP = \frac{9 \cdot BC}{AC}$$Например, можно взять $AB = 12$, $BC = 4$, $AC = 10$. Тогда $KP = \frac{9 \cdot 4}{10} = 3{,}6$. При $AB = 15$, $BC = 5$, $AC = 10$ получаем $KP = \frac{9 \cdot 5}{10} = 4{,}5$. Оба набора удовлетворяют указанному отношению сторон, но дают разные значения $KP$.
Длина $KP$ однозначно не определяется: в условии недостаточно данных.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что из условия $BC = \frac{AB}{3}$ следует значение стороны $AC$.
Использовать только подобие треугольников и считать, что коэффициент подобия уже известен.
Принимать отношение $AB:BC = 3:1$ за конкретные длины сторон.