Решение: Длина хорды в треугольнике
Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$. Найдите длину отрезка $KP$, если $AK = 6$, а сторона $AC$ в $1{,}5$ раза больше стороны $BC$.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим $AB = c$, $AC = b$, $BC = a$. По условию $b = 1{,}5a$.
Так как из точки $A$ проведены две секущие к окружности, по теореме о степени точки получаем:
$$AK \cdot AB = AP \cdot AC$$Подставляя $AK = 6$, находим длину отрезка $AP$:
$$AP = \frac{6c}{b}$$По теореме косинусов для треугольника $AKP$:
$$KP^2 = 6^2 + \left(\frac{6c}{b}\right)^2 - 2 \cdot 6 \cdot \frac{6c}{b} \cos A$$По теореме косинусов для треугольника $ABC$:
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$Сравнивая два выражения, получаем:
$$KP^2 = \frac{36}{b^2}(b^2+c^2-2bc\cos A)=\frac{36a^2}{b^2}$$Следовательно, $KP = \dfrac{6a}{b}$. Так как $b = 1{,}5a$, имеем:
$$KP = \frac{6a}{1{,}5a}=4$$4
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неправильно применяют теорему о степени точки и записывают $AK \cdot AP = AB \cdot AC$.
Не учитывают, что $AC = 1{,}5BC$.
Используют теорему косинусов без согласования угла $A$ и соответствующих сторон.