Решение: Площадь трапеции по биссектрисе
Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $4$ и $5$, а основание $BC$ равно $1$. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.
Решение по шагам
7 шаговРасположим трапецию в координатной плоскости: $D=(0,0)$, $A=(a,0)$, $C=(x,h)$, $B=(x+1,h)$. Тогда $AD=a$, $BC=1$, а $h$ — высота трапеции.
$$CD^2=x^2+h^2=25$$Так как $AB=4$, получаем второе равенство для боковых сторон:
$$(x+1-a)^2+h^2=16$$Направляющий вектор биссектрисы угла $ADC$ равен сумме единичных векторов вдоль $DA$ и $DC$. Поскольку $|DC|=5$, его можно взять равным $\left(1+\dfrac{x}{5},\dfrac{h}{5}\right)$. Середина стороны $AB$ имеет координаты $M\left(\dfrac{a+x+1}{2},\dfrac{h}{2}\right)$.
$$\frac{\frac{a+x+1}{2}}{\frac{h}{2}}=\frac{1+\frac{x}{5}}{\frac{h}{5}}$$Из условия коллинеарности точки $M$ с биссектрисой следует:
$$\frac{a+x+1}{h}=\frac{x+5}{h},\quad a+x+1=x+5,\quad a=4$$Подставим $a=4$ в равенство для стороны $AB$ и вычтем его из равенства для стороны $CD$:
$$x^2+h^2=25,\quad (x-3)^2+h^2=16$$Вычитая второе уравнение из первого, получаем $x=3$. Тогда:
$$h^2=25-3^2=16,\quad h=4$$Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженному на высоту:
$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{4+1}{2}\cdot4=10$$Площадь трапеции равна $10$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Принять боковые стороны $AB$ и $CD$ за основания трапеции.
Забыть, что направляющий вектор биссектрисы является суммой единичных векторов вдоль её сторон.
Использовать в формуле площади длину боковой стороны вместо высоты.