Решение: Длина хорды в треугольнике
Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$. Найдите длину отрезка $KP$, если $AK = 14$, а сторона $AC$ в 2 раза больше стороны $BC$.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим $BC = a$, тогда $AC = 2a$, а $AB = b$.
По теореме о степени точки $A$ для двух секущих $ABK$ и $ACP$ имеем:
$$AK \cdot AB = AP \cdot AC$$Подставим известные значения и найдём длину $AP$:
$$14b = AP \cdot 2a, \qquad AP = \frac{7b}{a}$$По теореме косинусов для треугольника $ABC$ найдём косинус угла $A$:
$$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{b^2 + 4a^2 - a^2}{4ab} = \frac{b^2 + 3a^2}{4ab}$$Применим теорему косинусов к треугольнику $AKP$:
$$KP^2 = AK^2 + AP^2 - 2 \cdot AK \cdot AP \cdot \cos A$$Подставим найденные выражения:
$$KP^2 = 14^2 + \left(\frac{7b}{a}\right)^2 - 2 \cdot 14 \cdot \frac{7b}{a} \cdot \frac{b^2 + 3a^2}{4ab} = 196 + \frac{49b^2}{a^2} - \frac{49(b^2 + 3a^2)}{a^2} = 49$$Так как длина отрезка положительна, получаем:
$$KP = \sqrt{49} = 7$$Длина отрезка $KP$ равна $7$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно применяют теорему о степени точки и записывают $AK \cdot AP = AB \cdot AC$.
Ошибаются при вычислении косинуса угла $A$ в треугольнике $ABC$.
Забывают, что длина отрезка положительна, и указывают только значение $KP^2 = 49$.