Решение: Перпендикулярные медиана и биссектриса
В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную $44$. Найдите стороны треугольника $ABC$.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим $AB= c$, $BC=a$, а половину угла $B$ — через $\alpha$. Выберем биссектрису $BE$ за горизонтальное направление. Тогда можно записать координаты вершин:
$$A=(c\cos\alpha,c\sin\alpha),\quad C=(a\cos\alpha,-a\sin\alpha)$$Точка $D$ — середина стороны $BC$, поэтому её координаты равны:
$$D=\left(\frac{a\cos\alpha}{2},-\frac{a\sin\alpha}{2}\right)$$Горизонтальная составляющая вектора $\overrightarrow{AD}$ равна $\frac{(a-c)\cos\alpha}{2}$. Так как $AD\perp BE$, эта составляющая равна нулю. Для невырожденного треугольника $\cos\alpha\ne0$, поэтому $a=c$. Следовательно, $AB=BC$, и треугольник равнобедренный.
При $AB=BC$ медиана $AD$ и биссектриса $BE$ проходят к середине основания $AC$ и имеют длины соответственно $a\sin\alpha$ и $a\cos\alpha$. По условию их длины равны:
$$a\sin\alpha=a\cos\alpha=44$$Отсюда $\tan\alpha=1$, значит, $\alpha=45^\circ$. Тогда:
$$a=\frac{44}{\sin45^\circ}=44\sqrt2$$Боковые стороны равны $AB=BC=44\sqrt2$. Основание треугольника равно:
$$AC=2a\sin\alpha=2\cdot44\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=88$$Стороны треугольника: $AB=BC=44\sqrt2$, $AC=88$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать медиану $AD$ с высотой без предварительного доказательства равенства боковых сторон.
Забывать, что углы по разные стороны от биссектрисы имеют противоположные знаки при координатном задании.
Получать длину основания как $44\sqrt2$ вместо $88$.