Решение: Площадь параллелограмма по биссектрисам
Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь параллелограмма, если $BC = 11$, а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно $3$.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим через $\alpha$ угол $DAB$, а через $h$ — высоту параллелограмма, проведённую к стороне $AB$. Тогда $h = BC \sin \alpha$.
Биссектриса угла $A$ образует с прямой $AB$ угол $\dfrac{\alpha}{2}$. Биссектриса угла $B$ образует с прямой $AB$ угол $90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$. Из условия пересечения этих биссектрис следует, что точка $K$ находится на половине высоты параллелограмма.
Следовательно, расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно $\dfrac{h}{2}$. По условию это расстояние равно $3$, поэтому $h = 6$.
Площадь параллелограмма равна произведению стороны $BC$ на высоту, проведённую к этой стороне. Эквивалентно, используя $S = AB \cdot h_{AB}$ и соотношение $h_{AB}=BC\sin\alpha$, получаем $S=BC\cdot h$.
Подставим известные значения:
Таким образом, площадь параллелограмма равна $66$.
66
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что точка пересечения биссектрис находится на высоте, равной расстоянию до стороны $AB$, без учёта множителя $2$.
Использовать в формуле площади сторону $BC$ и высоту, не перпендикулярную этой стороне, без дополнительного обоснования.
Забыть, что расстояние от $K$ до $AB$ равно половине высоты параллелограмма.